Question

15．已知⊙O是△ABC的内切圆，分别切AB、BC、CA于点D、E、F；则△DEF一定（　　）

• A． 锐角三角形
• B． 直角三角形
• C． 钝角三角形
• D． 不能确定

Answer 1

分析 连接OD、OF，根据切线的性质以及四边形的内角和定理得到∠A+∠DOF=180°，然后根据圆周角定理证得∠DEF是锐角，进而证得．

解答 解：连接OD、OF．

∵AB、AC是圆的切线，
∴∠ADO=∠AFO=90°，
∴在四边形ADOF中，∠A+∠DOF=180°，
∴∠DOF=180°-∠A，
又∵∠DEF=$\frac{1}{2}$∠DOF，
∴∠DEF=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A＜90°，即∠DEF是锐角．
同理，∠EDF和∠DFE都是锐角．
则△DEF是锐角三角形．
故选：A．

点评 本题考查了圆周角定理以及切线的性质定理，已知切线，连接圆心和切点是常用的辅助线，掌握此类问题辅助线的做法是解题的关键．