Question

8．如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的B′处，得到折痕EC，将点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EN．
（1）若∠BEB′=110°，则∠BEC=55°，∠AEN=35°，∠BEC+∠AEN=90°．
（2）若∠BEB′=m°，则（1）中∠BEC+∠AEN的值是否改变？请说明你的理由．
（3）将∠ECF对折，点E刚好落在F处，且折痕与B′C重合，求∠DNA′．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质可求出∠BEC和∠AEN的度数，然后求出两角之和；
（2）不变．根据折叠的性质可得∠BEC=∠B'EC，根据∠BEB′=m°，可得∠BEC=∠B'EC=$\frac{1}{2}$∠BEB′=$\frac{1}{2}$m°，然后求出∠AEN，最后求和进行判断；
（3）根据折叠的性质可得∠B'CF=∠B'CE，∠B'CE=∠BCE，进而得出∠B'CF=∠B'CE=∠BCE，求出其度数，在Rt△BCE中，可知∠BEC与∠BCE互余，然后求出∠BEC的度数，最后根据平角的性质和折叠的性质求解．

解答 解：（1）由折叠的性质可得，∠BEC=∠B'EC，∠AEN=∠A'EN，
∵∠BEB′=110°，
∴∠AEA'=180°-110°=70°，
∴∠BEC=∠B'EC=$\frac{1}{2}$∠BEB′=55°，∠AEN=∠A'EN=$\frac{1}{2}$∠AEA'=35°．
∴∠BEC+∠AEN=55°+35°=90°；
（2）不变．
由折叠的性质可得：∠BEC=∠B'EC，∠AEN=∠A'EN，
∵∠BEB′=m°，
∴∠AEA'=180°-m°，
可得∠BEC=∠B'EC=$\frac{1}{2}$∠BEB′=$\frac{1}{2}$m°，∠AEN=∠A'EN=$\frac{1}{2}$∠AEA'=$\frac{1}{2}$（180°-m°），
∴∠BEC+∠AEN=$\frac{1}{2}$m°+$\frac{1}{2}$（180°-m°）=90°，
故∠BEC+∠AEN的值不变；
（3）由折叠的性质可得：∠B'CF=∠B'CE，∠B'CE=∠BCE，
∴∠B'CF=∠B'CE=∠BCE=$\frac{1}{3}$×90°=30°，
在Rt△BCE中，
∵∠BEC与∠BCE互余，
∴∠BEC=90°-∠BCE=90°-30°=60°，
∴∠B'EC=∠BEC=60°，
∴∠AEA'=180°-∠BEC-∠B'EC=180°-60°-60°=60°，
∴∠AEN=$\frac{1}{2}$∠AEA'=30°，
∴∠ANE=90°-∠AEN=90°-30°=60°，
∴∠ANE=∠A'NE=60°，
∴∠DNA'=180°-∠ANE-∠A'NE=180°-60°-60°=60°．
故答案为：55，35，90．

点评 本题考查了翻折变换，涉及了折叠的性质、余角和补角的知识，根据条件求出各角的度数是解答本题的关键．