Question

13．如图，在x轴上方，∠BOA=90°且其两边分别与反比例函数y=-$\frac{1}{x}$、y=$\frac{2}{x}$的图象交于B、A两点，则∠OAB的正切值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 作辅助线；首先证明△BOM∽△OAN，得到$\frac{BM}{ON}$=$\frac{OM}{AN}$，设B（-m，$\frac{1}{m}$），A（n，$\frac{2}{n}$），得到BM=$\frac{1}{m}$，AN=$\frac{2}{n}$，OM=m，ON=n，进而得到mn=$\frac{2}{mn}$，mn=$\sqrt{2}$，运用三角函数的定义证明知tan∠OAB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：如图，分别过点A、B作AN⊥x轴、BM⊥x轴；
∵∠AOB=90°，
∴∠BOM+∠AON=∠AON+∠OAN=90°，
∴∠BOM=∠OAN，
∵∠BMO=∠ANO=90°，
∴△BOM∽△OAN，
∴$\frac{BM}{ON}$=$\frac{OM}{AN}$；
设B（-m，$\frac{1}{m}$），A（n，$\frac{2}{n}$），
则BM=$\frac{1}{m}$，AN=$\frac{2}{n}$，OM=m，ON=n，
∴mn=$\frac{2}{mn}$，mn=$\sqrt{2}$；
∵∠AOB=90°，
∴tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$①；
∵△BOM∽△OAN，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{BM}{ON}$=$\frac{1}{mn}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$②，
由①②知tan∠OAB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选B．

点评 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．