Question

6．已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c（b，c为常数）与x轴交于点A（-1，0）和点B（x₀，0）．
（1）若x₀=5，求此时抛物线的解析式；
（2）设m=bc，若m取最小值，求此时抛物线的解析式；
（2）若自变量x的值满足c≤x≤c+$\frac{1}{2}$，与其对应的函数值y的最小值为$-\frac{1}{2}$，求此时抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0），B（5，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c转化为解方程组即可．
（2）把A（-1，0）代入代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c，得0=$\frac{1}{2}$-b+c，推出b=$\frac{1}{2}$+c，推出m=bc=（$\frac{1}{2}$+c）c=c²+$\frac{1}{2}$c=（c+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{16}$，可知c=-$\frac{1}{4}$时，m有最小值，由此即可解决问题．
（3）分三种情形讨论①当x=-（$\frac{1}{2}$+c）时，y取得最小值-$\frac{1}{2}$，则有$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$+c）²-（$\frac{1}{2}$+c）²+c=-$\frac{1}{2}$，解得c=±$\frac{1}{2}$，经检验c=$\frac{1}{2}$不符合题意舍弃，推出c=-$\frac{1}{2}$．
②当x=c时，y取得最小值-$\frac{1}{2}$，则有$\frac{1}{2}$c²+（$\frac{1}{2}$+c）c+c=-$\frac{1}{2}$，整理得3c²+3c+1=0，△＜0，无解．③当x=（$\frac{1}{2}$+c）时，y取得最小值-$\frac{1}{2}$，列出方程解方程即可．

解答 解：（1）把A（-1，0），B（5，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-b+c=0}\\{\frac{25}{2}+5b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-2x+$\frac{3}{2}$；

（2）把A（-1，0）代入代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c，得0=$\frac{1}{2}$-b+c，
∴b=$\frac{1}{2}$+c，
∴m=bc=（$\frac{1}{2}$+c）c=c²+$\frac{1}{2}$c=（c+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{16}$，
∵c=-$\frac{1}{4}$时，m有最小值，
∴c=-$\frac{1}{4}$，b=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$；

（3）∵抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+（$\frac{1}{2}$+c）x+c，
∴对称轴x=-（$\frac{1}{2}$+c），
又∵c≤x≤c+$\frac{1}{2}$，
①当x=-（$\frac{1}{2}$+c）时，y取得最小值-$\frac{1}{2}$，
则有$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$+c）²-（$\frac{1}{2}$+c）²+c=-$\frac{1}{2}$，
解得c=±$\frac{1}{2}$，
经检验c=$\frac{1}{2}$不符合题意舍弃，
∴c=-$\frac{1}{2}$．
②当x=c时，y取得最小值-$\frac{1}{2}$，
则有$\frac{1}{2}$c²+（$\frac{1}{2}$+c）c+c=-$\frac{1}{2}$，
整理得3c²+3c+1=0，△＜0，无解．
③当x=（$\frac{1}{2}$+c）时，y取得最小值-$\frac{1}{2}$，
则有$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$+c）²+（$\frac{1}{2}$+c）²+c=-$\frac{1}{2}$，
解得c=-$\frac{1}{2}$或-$\frac{7}{6}$
综上所述，抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$或y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{2}{3}$x-$\frac{7}{6}$．

点评 本题考查二次函数与x轴的交点问题、二次函数的最值问题、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．