已知抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c交x轴于点A.B.交y轴于点C.四边形OCDB为正方形.点D的坐标为(6.6)．(1)求抛物线的解析式,(2)点P为线段CD上一动点.以每秒2单位的速度由点C向终点D运动.连接OP.取OP的中点M.CD交抛物线于点E.连接EM.设点P的运动时间为t.△PME的面积为S.求S与t的函数关系式.并直接写出自变量的取值范围,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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已知抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c交x轴于点A，B，交y轴于点C，四边形OCDB为正方形，点D的坐标为（6，6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为线段CD上一动点，以每秒2单位的速度由点C向终点D运动，连接OP，取OP的中点M，CD交抛物线于点E，连接EM，设点P的运动时间为t，△PME的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接MD，直线y=mx-6经过点B，点N为直线y=mx-6上一点，当∠DMN=90°，BN=2$\sqrt{2}$时，在x轴上方的抛物线上存在点Q，使△AOQ的面积等于△PME的面积，求此时Q点的坐标．

分析（1）先求得点C（0，6），B（6，0），然后将点B、C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值；
（2）将y=6代入抛物线的解析式可求得点E的坐标，当0≤t≤4时，PE=4-t，当4＜t≤6时，PE=6-t，由中点坐标公式可得到点M的坐标，最后依据三角形的面积公式求解即可；
（3）将点B的坐标代入y=mx-6可求得m的值，从而得到直线BN的解析式为y=x-6，接下来，由BN=2$\sqrt{2}$，可得到N的坐标为（8，2）或（4，-2），当N的坐标为（8，2）时，∠MDN＜90°，不和题意；当点N的坐标为（4，-2）时，依据勾股定理的逆定理列出关于t的方程，从而可求得t的值，然后可得到△PEM的面积，然后依据三角形的面积公式可求得Q的纵坐标，最后，将点Q的纵坐标代入抛物线的解析式可求得点Q的横坐标．

解答解：（1）∵四边形OCDB为正方形，点D的坐标为（6，6），
∴C（0，6），B（6，0）．
将点B、C的坐标代入抛物线的解析式可得到$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×36+6b+c=0}\\{c=6}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6．
（2）将y=6代入抛物线的解析式得：-$\frac{1}{2}$x²+2x+6=6，解得x=0或x=4，
∴点E的坐标为（4，6）．
当0≤t≤4时，如图1所示：则PE=4-t．

∵M为OP的中点，
∴M的坐标为（$\frac{1}{2}$t，3）．
∴△PEM的面积=$\frac{1}{2}$×3×（4-t）=-$\frac{3}{2}$t+6．
当4＜t≤6时，如图2所示：PE=6-t．

∴△PEM的面积=$\frac{1}{2}$×3×（t-4）=$\frac{3}{2}$t-6．
∴S与t的函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}t+6（0≤t≤4）}\\{\frac{3}{2}t-6（4＜t≤6）}\end{array}\right.$．
（3）将点B的坐标代入y=mx-6得：6m-6=0，解得m=1，
∴直线BN的解析式为y=x-6．
又∵BN=2$\sqrt{2}$，
∴点N的坐标为（8，2）或（4，-2）．
当点N的坐标为（8，2）时，∠MDN＜90°，不和题意；
当点N的坐标为（4，-2）时，如图3所示：

∵点M（$\frac{1}{2}$t，3），D（6，6），N（4，-2），∠DMN=90°，
∴MD²+MN²=DN²，即（6-$\frac{1}{2}$t）²+（6-3）²+（4-$\frac{1}{2}$t）²+（-2-3）²=2²+8²，
整理得：t²-20t+36=0，解得：t=2或t=18（舍去）．
当t=2时，S=-$\frac{3}{2}$t+6=3，即△PEM的面积为3．
将y=0代入抛物线的解析式得：-$\frac{1}{2}$x²+2x+6=0，解得：x=-2或x=6，
∴点A的坐标为（-2，0），
∴OA=2．
∴$\frac{1}{2}$×AO×Q_y=3，即$\frac{1}{2}$×2×Q_y=3，解得：Q_y=3．
将y=3代入抛物线的解析式得：-$\frac{1}{2}$x²+2x+6=3，整理得：x²-4x-6=0，
解得：x=$\sqrt{10}$+2或x=-$\sqrt{10}$+2．
∴点Q的坐标为（$\sqrt{10}$+2，3）或（-$\sqrt{10}$+2，3）．

点评本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、两点间的距离公式、三角形的面积公式，求得点M的坐标是解题的关键．

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