Question

如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°．⊙I分别切AC，BC，AB于点D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：

分析：连结ID、IE、IF，如图，由AC=8，BC=6，∠C=90°，根据圆周角定理的推论和勾股定理得到AB为△ABC的外接圆的直径，AB=10，则外心O为AB的中点，BO=

1

2

AB=5，连结OI，设⊙I的半径为r，根据切线的性质和切线长定理得ID⊥AC，IE⊥BC，IF⊥AB，AD=AF，BE=BF，易得四边形IDCE为正方形，则DC=CE=r，所以AD=AC-DC=8-r，BE=BC-CE=6-r，即AF=8-r，BF=6-r，利用AF+BF=AB得8-r+6-r=10，解得r=2，所以BF=4，则OF=OB-BF=1，
在Rt△IOF中，根据勾股定理得IO=

5

．

解答：解：连结ID、IE、IF，如图，
∵AC=8，BC=6，∠C=90°，
∴AB为△ABC的外接圆的直径，AB=

AC2+BC2

=10，
∴外心O为AB的中点，
∴BO=

1

2

AB=5，
连结OI，如图，
设⊙I的半径为r，
∵⊙I分别切AC，BC，AB于点D，E，F，
∴ID⊥AC，IE⊥BC，IF⊥AB，AD=AF，BE=BF，
而∠C=90°，
∴四边形IDCE为正方形，
∴DC=CE=r，
∴AD=AC-DC=8-r，BE=BC-CE=6-r，
∴AF=8-r，BF=6-r，
而AF+BF=AB，
∴8-r+6-r=10，解得r=2，
∴BF=6-r=4，
∴OF=OB-BF=5-4=1，
在Rt△IOF中，IF=2，OF=1，
∴IO=

OF2+IF2

=

5

，
即Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离为

5

．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了切线的性质和切线长定理．