Question

18．如图1，线段BE上有一点C，以BC，CE为边分别在BE的同侧作等边三角形ABC，DCE，连接AE，BD，分别交CD，CA于Q，P．
（1）找出图中的所有全等三角形．
（2）找出一组相等的线段，并说明理由．
（3）如图2，取AE的中点M、BD的中点N，连接MN，试判断三角形CMN的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定，可得答案；
（2）根据全等三角形的判定与性质，可得答案；
（3）根据全等三角形的判定与性质，可得CM=CN，根据等边三角形的判定，可得答案．

解答 解：（1）△BCD≌△ACE；△BPC≌△AQC；△DPC≌△EQC
（2）BD=AE．
理由：等边三角形ABC、DCE中，∵∠ACB=∠ACD=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}BC=CA\\∠BCD=∠ACE\\ CD=CE\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE．
（3）等边三角形．
理由：由△BCD≌△ACE，
∴∠1=∠2，BD=AE．
∵M是AE的中点、N是BD的中点，
∴DN=EM，又DC=CE．
在△DCN和△ECM中，$\left\{\begin{array}{l}DN=EM\\∠1=∠2\\ DC=EC\end{array}\right.$，
∴△DCN≌△ECM（SAS），
∴CN=CM，∠NCD=∠MCE，∠MCE+∠DCM=60°．
∴∠NCD+∠DCM=60°，即∠NCM=60°，
又∵CM=CN，
∴△CMN为等边三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，解（1）的关键是全等三角形的判定，解（2）的关键是全等三角形的判定；解（3）的关键是利用全等三角形的判定与性质得出CN=CM，∠NCD=∠MCE，∠MCE+∠DCM=60°．，又利用了等边三角形的判定．