Question

9．折纸探究tan 22.5°的值：如图①，矩形纸片ABCD（AD＞AB）中，AB=1，将矩形纸片ABCD沿折痕AE对折，使B点落在边AD上，点B和点F重合，如图②所示；再剪去四边形CEFD，余下部分如图③所示；将图③中的纸片沿折痕AG对折，使点F落在AE边的点H处，如图④所示．则tan 22.5°的值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$

Answer 1

分析 设FG=x，则GH=x，根据△EHG是等腰直角三角形，可得GE=$\sqrt{2}$GH=$\sqrt{2}$x，根据EF=1，可得x+$\sqrt{2}$x=1，进而得到x=$\sqrt{2}$-1，即FG=$\sqrt{2}$-1，在Rt△AFG中，根据tan∠FAG=tan22.5°=$\frac{FG}{AF}$进行计算即可．

解答 解：如图④，设FG=x，则GH=x，
由折叠可得，∠GHE=90°，∠GEH=45°，
∴△EHG是等腰直角三角形，
∴GE=$\sqrt{2}$GH=$\sqrt{2}$x，
∵图②中，∠B=∠BAE=∠AFE=90°，AB=BE，
∴四边形ABEF是正方形，
∴EF=AB=AF=1，
∴x+$\sqrt{2}$x=1，
解得x=$\sqrt{2}$-1，
即FG=$\sqrt{2}$-1，
由折叠可得，∠FAG=$\frac{1}{2}$∠EAF=$\frac{1}{4}$∠BAD=22.5°，
∴Rt△AFG中，tan∠FAG=tan22.5°=$\frac{FG}{AF}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{1}$=$\sqrt{2}-1$，
故选：A．

点评 本题主要考查了折叠问题，正方形的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据等量关系列方程求解．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．