Question

9．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E是AB的中点，直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD边上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A恰好落在直线l上，则DF的长为2$\sqrt{2}$或4-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 当直线l在直线CE上方时，连接DE交直线l于M，只要证明△DFM是等腰直角三角形即可利用DF=$\sqrt{2}$DM解决问题，当直线l在直线EC下方时，由∠DEF₁=∠BEF₁=∠DF₁E，
得到DF₁=DE，由此即可解决问题．

解答 解：如图，当直线l在直线CE上方时，连接DE交直线l于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC，
∵AB=4，AD=BC=2，
∴AD=AE=EB=BC=2，
∴△ADE、△ECB是等腰直角三角形，
∴∠AED=∠BEC=45°，
∴∠DEC=90°，
∵l∥EC，
∴ED⊥l，
∴EM=2=AE，
∴点A、点M关于直线EF对称，
∵∠MDF=∠MFD=45°，
∴DM=MF=DE-EM=2$\sqrt{2}$-2，
∴DF=$\sqrt{2}$DM=4-2$\sqrt{2}$．
当直线l在直线EC下方时，
∵∠DEF₁=∠BEF₁=∠DF₁E，
∴DF₁=DE=2$\sqrt{2}$，
综上所述DF的长为2$\sqrt{2}$或4-2$\sqrt{2}$．
故答案为2$\sqrt{2}$或4-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查翻折变换、矩形的性质、等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是正确画出图形，注意有两种情形，属于中考常考题型．