Question

16．如图，抛物线y=-x²+20的图象与y轴正半轴的交点为A，将线段OA分成20等份，设分点分别为P₁，P₂，…，P₁₉，过每个分点作y轴的垂线，分别与抛物线交于点Q₁，Q₂，…，记△OP₁Q₁，△P₁P₂Q₂，…的面积分别为S₁，S₂，…，S₁₉，则S₁²+S₂²+…+S₁₉²的值为（　　）

• A． 47
• B． 47.5
• C． 48
• D． 48.5

Answer 1

分析 根据等分求出OP₁=P₁P₂=P₂P₃=P₃P₄=…=P₁₈P₁₉=1，再利用抛物线解析式求出P₁Q₁，P₂Q₂，…，P₁₉Q₁₉的平方的值，利用三角形的面积表示出S₁，S₂，…，并平方后相加，然后根据等差数列求和公式进行计算即可得解．

解答 解：∵P₁，P₂，…，P₁₉将线段OA分成20等份，
∴OP₁=P₁P₂=P₂P₃=P₃P₄=…=P₁₈P₁₉=1，
∵过分点P₁作y轴的垂线，与抛物线交于点Q₁，
∴-x²+20=1，
解得x²=19，
∴S₁²=（$\frac{1}{2}$×1×P₁Q₁）²=$\frac{1}{4}$×19，
同理可得S₂²=$\frac{1}{4}$×18，
S₃²=$\frac{1}{4}$×17，
…
S₁₉²=$\frac{1}{4}$×1，
∴w=S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₉²
=$\frac{1}{4}$×19+$\frac{1}{4}$×18+$\frac{1}{4}$×17+…+$\frac{1}{4}$×1
=$\frac{1}{4}$×$\frac{19×（19+1）}{2}$
=47.5，
故选B．

点评 本题是对二次函数的综合考查，根据图形的变化规律，分别表示出各三角形的面积的平方是解题的关键．