Question

如图，O是□ABCD两对角线的交点，线段OB绕着点O顺时针旋转α°（0≤α≤360），B点的对应点为P点，DE⊥PA于E点．
（1）填空：如图1，∠EPD=

 

°，

PB

AE

=

 

；
（2）如图2，若F为PB的中点，连接CF、CE，求∠ECF的度数；
（3）若AB=2，当线段OB绕着O点旋转时，则线段CE长度的最大值为

 

．

Answer 1

考点：四边形综合题,四点共圆,线段的性质：两点之间线段最短,勾股定理,三角形中位线定理,圆周角定理,圆内接四边形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）如图1，易证P、B、D、A四点共圆，根据圆周角定理可得∠APD=∠ABD=45°，∠BPD=∠BAD=90°，根据圆内接四边形的性质可得∠EAD=∠PBD，进而可证到△PBD∽△EAD，然后运用相似三角形的性质就可求出

PB

AE

的值．
（2）连接OF，如图2，根据三角形中位线定理可得OF∥DP，OF=

1

2

PD．进而可证到

ED

OF

=

2

=

DC

OC

，∠FOC=∠EDC，从而有△EDC∽△FOC，则有∠DCE=∠OCF，就可得到∠ECF的度数．
（3）取AD的中点Q，连接EQ，如图3，易证点E运动的路径是以点Q为圆心，QA为半径的圆，然后根据两点之间线段最短即可求出线段CE长度的最大值．

解答：解：（1）如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB=OC=OD，∠ABD=∠ADB=45°，BD=

2

AD．
∵OP=OB，
∴OP=OB=OA=OD
∴P、B、D、A四点共圆，
∴∠APD=∠ABD=45°，∠BPD=∠BAD=90°，∠EAD=∠PBD．
∵DE⊥PA即∠AED=90°，
∴∠BPD=∠AED=90°，
∵∠EAD=∠PBD，∠BPD=∠AED，
∴△PBD∽△EAD，
∴

PB

EA

=

BD

AD

=

2

．
故答案分别为：45、

2

．

（2）连接OP，如图2．
∵OB=OD，FB=FP，
∴OF∥DP，OF=

1

2

PD．
∴∠PDB=∠FOB．
∵△PBD∽△EAD，
∴∠PDB=∠EDA，
∴∠FOB=∠EDA．
在Rt△PED中，
sin∠EPD=

ED

PD

=sin45°=

2

2

，
∴PD=

2

ED，
∴2OF=

2

ED，
∴ED=

2

OF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC=∠ADC=90°，∠DCA=45°，DC=

2

OC．
∴

ED

OF

=

2

=

DC

OC

，∠EDC=∠FOC．
∴△EDC∽△FOC，
∴∠DCE=∠OCF，
∴∠DCA=∠ECF=45°．
∴∠ECF的度数为45°．

（3）取AD的中点Q，连接EQ、QC，如图3．
∵∠AED=90°，点Q为AD的中点，
∴EQ=AQ=DQ，
∴点E在以点Q为圆心，QA为半径的圆上，
∴QE=QD=

1

2

AD=1．
在Rt△QDC中，
QC=

QD2+DC2

=

12+22

=

5

，
∴EC≤QC+QE=

5

+1，
∴当E、Q、C三点共线时，EC取到最大值，最大值为

5

+1．
故答案为：

5

+1．

点评：本题考查了正方形的性质、四点共圆的判定、三角形的中位线定理、勾股定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质、相似三角形判定与性质、两点之间线段最短等知识，综合性比较强，有一定的难度．证明P、B、D、A四点共圆是解决第（1）小题的关键，证明△EDC∽△FOC是解决第（2）小题的关键，确点E的路径并运用两点之间线段最短则是解决第（3）小题的关键．