Question

设a₁，a₂，…，a₂₀₁₄是从1，0，-1这三个数中取值的一列数，若a₁+a₂+…+a₂₀₁₄=69，（a₁+1）²+（a₂+1）²+…+（a₂₀₁₄+1）²=4001，则a₁，a₂，…，a₂₀₁₄中为0的个数是

 

．

Answer 1

考点：规律型：数字的变化类

专题：压轴题,规律型

分析：首先根据（a₁+1）²+（a₂+1）²+…+（a₂₀₁₄+1）²得到a₁²+a₂²+…+a₂₀₁₄²+2152，然后设有x个1，y个-1，z个0，得到方程组

x+y+z=2014 1•x+(-1)•y+0•z=69 12x+(-1)2y+02z+2152=4001

，解方程组即可确定正确的答案．

解答：解：（a₁+1）²+（a₂+1）²+…+（a₂₀₁₄+1）²=a₁²+a₂²+…+a₂₀₁₄²+2（a₁+a₂+…+a₂₀₁₄）+2014
=a₁²+a₂²+…+a₂₀₁₄²+2×69+2014
=a₁²+a₂²+…+a₂₀₁₄²+2152，
设有x个1，y个-1，z个0
∴

x+y+z=2014 1•x+(-1)•y+0•z=69 12x+(-1)2y+02z+2152=4001

，
化简得x-y=69，x+y=1849，
解得x=959，y=890，z=165
∴有959个1，890个-1，165个0，
故答案为：165．

点评：本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是对给出的式子进行正确的变形，难度较大．