Question

6．阅读下面材料并完成填空，你能比较两个数2007²⁰⁰⁸和2008²⁰⁰⁷的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n≥1的整数），然后，从分析这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．
（1）通过计算，比较下列各组两个数的大小（在横线上填＞、=、＜号）
①1²＜2¹； ②2³＜3²； ③3⁴＞4³； ④4⁵＞5⁴； ⑤5⁶＞6⁵；
…
（2）从第（1）小题的结果经过归纳，可以猜想，nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小关系是什么？
（3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，可以猜想得到2007²⁰⁰⁸＞2008²⁰⁰⁷（填＞、=、＜）．

Answer 1

分析 （1）根据乘方的意义求出每个式子的结果，再比较即可．
（2）根据（1）的结果即可得出结论．
（3）根据（2）中结论比较即可

解答 （1）①1²＜2¹，
故答案为：＜．
②2³＜3²，
故答案为：＜．
③3⁴＞4³，
故答案为：＞．
④4⁵＞5⁴，
故答案为：＞．
⑤5⁶＞6⁵，
故答案为：＞；

（2）由（1）可知，当n=1或2时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
当n≥3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；

（3）∵2007＞3，2008＞3，
∴2007²⁰⁰⁸＞2008²⁰⁰⁷．
故答案为：＞．

点评 本题考查了有理数的乘方和有理数的大小比较的应用，关键是能得出规律．