Question

如图，已知二次函数的图象过点.

（1）求二次函数的解析式；
（2）求证：是直角三角形；
（3）若点在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点作垂直轴于点，试探究是否存在以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标.若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）二次函数的解析式
（2）可证明,即有△ACB是直角三角形
（3）存在合条件的P点的坐标为（），（）

试题分析：解: ∵二次函数的图象

过点A(－4,3),B(4,4)，

∴ 
（2）易知C点的坐标为(-2,0), D的坐标为（），  
过B作BM轴于点M,     ∴,        
类似的可得， ,
∴,即有△ACB是直角三角形.  
（3）存在以P、H、D三点为顶点的三角形与△ABC相似.  
设P的坐标为（），易得，则， 
①当时, ∽，
即，    ∴ .
而，∴.
∵，，∴，
解得，则，P点的坐标为() 
②当时, ∽，
即，∴ .
而，∴.
同理可得：解得，则，P点的坐标为()
故合条件的P点的坐标为（），（）.  
点评：本题难度较大，主要考查学生对抛物线及相似三角形综合应用能力。为中考常考题型，解决抛物线问题时注意分析已知点坐标与函数式关系为解题关键。