Question

已知抛物线经过点A（－1，0），B（3，0），交轴于点C，M为抛物线的顶点，连接MB．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）在轴上是否存在点P满足△PBM是直角三角形，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）设Q点的坐标为（8，0），将该抛物线绕点Q旋转180°后，点M的对应点为，求的度数．

Answer 1

（1） （2）P点的坐标为（0，1），（0，3），，
（3）＝135°

试题分析：（1）∵因为抛物线经过点A（－1，0），B（3，0）
∴
解得
∴
（2）设点P的坐标为（0，y）,

① 若∠MPB＝90°，过点M作ME ⊥x轴，MF ⊥y轴,
易证R t △PFM ∽ R t △BOP，可得：
解得，∴点P的坐标为（0，1），（0，3）

② 若∠PMB＝90°，同理，R t △PFM ∽ R t △BEM，
∴ 解得： ∴点P的坐标为
③ 若∠MBP＝90°，同理, R t △POB ∽ R t △BEM
∴，解得： ，∴点P的坐标为
综上：△PBM是直角三角形时，P点的坐标为（0，1），（0，3），，
（3）
由题意可知：B（3，0），M(1，4)，Q(8，0)，点M，M′关于点Q中心对称，
∴M′ (15，－4)，
连结M′B，并延长M′B交y轴于点D，
由，可得D（0，1）
连结MD，易证R t △DFM≌R t △DOB
∴△DBM是等腰直角三角形，∠DBM＝45°
∴＝135°
解法二：
过点M′作MB的垂线交MB的延长线于点D，
由△MBM′面积计算，转化为已知△面积和底边MB求高D M′，解得
再由 ，  M’D⊥MD， ∴△DBM′是等腰Rt△，
∴    
∴ ∠M’BD=∠BM’D=45°
∴＝135°
点评：该题较为复杂，是常考题，主要考查学生对求二次函数解析式以及对图形中点与线段在直角坐标系中表示的方法的应用。