Question

【题目】探究：

某学校数学社团遇到这样一个题目：如图①，在中，点在线段上， ， ， ，．求的长．

经过社团成员讨论发现，过点作，交的延长线于点，连结，如图②所示，通过构造就可以解决问题．

请你写出求、的度数和求长的过程．

应用：

如图③，在四边形中，对角线与相交于点， ， ，．若，则的长为 ， 的长为 ．

Answer 1

【答案】探究：∠ADB =75°，∠ABD =75°，AB=；应用：8，

【解析】

根据平行线的性质可得出∠ADB＝∠OAC＝75°，结合∠BOD＝∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD＝75°＝∠ADB，由等角对等边可得出AB＝AD＝，此题得解；过点B作BE∥AD交AC于点E，可得出AE＝，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长．

∵BD∥AC，

∴∠ADB=∠OAC=75°

∵∠BAD=30°，

∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°．

∴∠ADB=∠ABD．

∴AB=AD．

∵BD∥AC，

∴．

∵AO=，

∴OD=OA=．

∴AD=OA+OD=．

∴AB=．

过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．

∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC＝∠BEA＝90°．
∵∠AOD＝∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴．
∵BO：OD＝1：3，
∴．
∵AO＝3，
∴EO＝，
∴AE＝．
∵∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝30°，AB＝AC，
∴AB＝2BE．
在Rt△AEB中，BE2＋AE2＝AB2，即（4）2＋BE2＝（2BE）2，
解得：BE＝4，
∴AB＝AC＝8，AD＝12．
在Rt△CAD中，AC2＋AD2＝CD2，即82＋122＝CD2，
解得：CD＝．