Question

【题目】如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．

（1）当x=2时，求⊙P的半径；

（2）求y关于x的函数解析式；判断此函数图象的形状；并在图②中画出此函数的图象；

（3）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．

Answer 1

【答案】（1）圆P的半径为；（2）画出函数图象，如图②所示；见解析；（3）cos∠APD==.

【解析】

（1）由题意得到AP=PB，求出y的值，即为圆P的半径；
（2）利用两点间的距离公式，根据AP=PB，确定出y关于x的函数解析式，画出函数图象即可；
（3）画出相应图形，求出m的值，进而确定出所求角的余弦值即可．

（1）由x=2，得到P（2，y），连接AP，PB，

∵圆P与x轴相切，∴PB⊥x轴，即PB=y，

由AP=PB，得到 ，解得：y=，则圆P的半径为

（2）同（1），由AP=PB，得到（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2，

整理得：

图象为开口向上的抛物线，

画出函数图象，如图②所示；

（3）连接CD，连接AP并延长，交x轴于点F，

设PE=a，则有EF=a+1，ED= ，∴D坐标为（1+，a+1），

代入抛物线解析式得：，解得：或（舍去），

即PE=，在Rt△PED中，PE=，PD=1，

则cos∠APD==.