Question

7．如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，连AD，BE相交于H，连CH
（1）如图1，当α=60°时，求∠AHE与∠BHC；
（2）如图2，当α=90°时，求∠AHE与∠BHC；
（3）如图3，当α为锐角时，求∠AHE与∠BHC；
（4）如图4，当α为钝角时，求∠AHE与∠BHC．

Answer 1

分析 （1）只要证明△ACD≌△BCE，A、B、H、C四点共圆，即可解决问题．
（2）（3）（4）方法类似（1）．

解答 解：（1）如图1中，
∵CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，α=60°，
∴△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ADC=∠BDH，
∴∠BHD=∠ACD=60°，
∴∠AHE=120°，A、B、H、C四点共圆，
∴∠BHC=180°-∠BAC=120°．

（2）如图2中，
∵CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，α=90°，
∴△ABC，△CDE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∴A、B、H、C四点共圆，
∴∠BHA=∠ACB=90°，∠BHC=180°-∠BAC=135°
∴∠AHE=180°-∠BHA=90°．

（3）如图3中，
∵CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，
∠ACD=∠BCE，
∴∠BAC=90°-$\frac{1}{2}$α，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∴A、B、H、C四点共圆，
∴∠BHA=∠ACB=α，
∴∠AHE=∠ACB=α，∠BHC=180°-∠BAC=90°+$\frac{1}{2}$α．


（4）如图4中，
∵CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，
∠ACD=∠BCE，
∴∠BAC=90°-$\frac{1}{2}$α，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∴A、H、B、C四点共圆，
∴∠AHE=180°-∠ACB=180°-α，∠BHC=∠BAC=90°-$\frac{1}{2}$α．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、四点共圆等知识，解题的关键是四点共圆的判定和性质，难点是用到四点共圆的判定．