Question

19．如图，将边长为2的等边△OAB放置于平面直角坐标系xOy中，C是AB边上的一个点（不与端点A、B重合），作CD⊥OB于点D，若点C、D都在双曲线y=$\frac{k}{x}$上（k＞0，x＞0），则k的值为（　　）

• A． $\frac{9}{16}$$\sqrt{3}$
• B． $\frac{3}{4}$$\sqrt{3}$
• C． $\frac{9}{25}$$\sqrt{3}$
• D． $\frac{3}{5}$$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 过点D作DE⊥x轴于点E，过C作CF⊥x轴于点F，设OE=a，根据等边三角形的性质即可找出点D、C的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，进而即可求出k值．

解答 解：过点D作DE⊥x轴于点E，过C作CF⊥x轴于点F，如图所示．
设OE=a，则OD=2a，DE=$\sqrt{3}$a，
∴BD=OB-OD=2-2a，BC=2BD=4-4a，AC=AB-BC=4a-2，
∴AF=$\frac{1}{2}$AC=2a-1，CF=$\sqrt{3}$AF=$\sqrt{3}$（2a-1），OF=OA-AF=3-2a，
∴点D（a，$\sqrt{3}$a），点C（3-2a，$\sqrt{3}$（2a-1））．
∵点C、D都在双曲线y=$\frac{k}{x}$上（k＞0，x＞0），
∴a•$\sqrt{3}$a=（3-2a）×$\sqrt{3}$（2a-1），
解得：a=$\frac{3}{5}$或a=1．
当a=1时，DO=OB，AC=AB，点C、D与点B重合，不符合题意，
∴a=1舍去．
∴点D（$\frac{3}{5}$，$\frac{3}{5}$$\sqrt{3}$），
∴k=$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{5}$$\sqrt{3}$=$\frac{9\sqrt{3}}{25}$．
故选C．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质，设出OE，用其表示出点C、D的坐标是解题的关键．