Question

11．类比特殊四边形的学习，我们可以定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
探索体验
（1）如图①，已知四边形ABCD是“等对角的四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°，求∠C，∠D的度数．
（2）如图②，若AB=AD=a，CB=CD=b，且a＜b，那么四边形ABCD是“等对角四边形”吗？试说明理由．
尝试应用
（3）如图③，在边长为5的正方形木板ABEF上裁出“等对角四边形”ABCD，若已经确定DA=4，∠DAB=60°．能否在正方形ABEF内（包括边上）确定点C，使四边形ABCD为面积最大的“等对角四边形”？若能确定出点C，试求四边形ABCD的最大面积；若不能确定，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°，根据定义，即可求得∠D的度数，然后由四边形内角和定理，求得∠C的度数．
（2）首先连接BD，由AB=AD=a，CB=CD=b，且a≠b，可得∠ABD=∠ADC，△ABD与△CBD不相似，即∠A≠∠C，则可证得结论；
（3）首先连接BD，由当∠DAB=∠BCD=60°时，四边形ABCD是“等对角四边形”，可得此时点C在BD为弦的$\widehat{CD}$上，即可得要使四边形ABCD的面积最大，则点C在边BE上，然后过点D作DH⊥AB于点H，作DM⊥BC于点M，利用勾股定理求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°，
∴∠D=∠B=80°，
∴∠C=360°-80°-80°-70°=130°；

（2）证明：如图2，连接BD，
∵AB=AD，CB=CD，
∴∠ABD=∠ADB，∠CBD=∠CDB，
∴∠ABD+∠CBD=∠ADB+∠CDB，
∴∠ABC=∠ADC，
∵AB=AD=a，CB=CD=b，且a≠b，且BD=BD，
∴△ABD与△CBD不相似，
∴∠A≠∠C，
∴四边形ABCD是“等对角四边形”．

（3）如图3，连接BD，
当∠DAB=∠BCD=60°时，四边形ABCD是“等对角四边形”，
此时点C在BD为弦的$\widehat{CD}$上，
要使四边形ABCD的面积最大，则点C在边BE上，
过点D作DH⊥AB于点H，作DM⊥BC于点M，
在Rt△ADH中，∠DAH=60°，AD=4，
∴AH=2，DH=2$\sqrt{3}$，
∴BH=AB-AH=4，
∵四边形DHBM是矩形，
∴BM=DH=2$\sqrt{3}$，DM=BH=4，
在Rt△DMC中，∠DCM=60°，
∴CM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DM=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴BC=BM+CM=2$\sqrt{3}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{10\sqrt{3}}{3}$×4=$\frac{38}{3}\sqrt{3}$．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．