Question

如图，已知⊙O上A、B、C三点，∠BAC=∠BCD，D是OB延长线上的点，∠BDC=30°，⊙O半径为2，AO⊥BO，BO与AC交于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AB²=AE•AC；
（3）求AC：AE的值．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据圆周角定理得∠BAC=

1

2

∠BOC，加上∠BAC=∠BCD，则∠BCD=

1

2

∠BOC，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠OCB=∠OBC=90°-

1

2

∠BOC，则∠OCB+∠BCD=90°，即∠OCD=90°，于是根据切线的判定定理即可得到CD是⊙O的切线；
（2）由AO⊥BO得∠AOB=90°，根据圆周角定理得∠ACB=

1

2

∠AOB=45°，再证明△AOB为等腰直角三角形得到∠ABO=45°，则可判断△ABE∽△ACB，利用相似比可比例的性质即可得到结论；
（3）作BH⊥AC于H，如图，先利用互余计算出∠COD=60°，则可判断△BOC为等边三角形，则BC=OC=2，利用∠BCH=45°可得CH=BH=

2

2

BC=

2

，利用∠BAC=

1

2

∠BOC=30°可得AB=2BH=2

2

，AH=

3

BH=

6

，所以AC=AH+CH=

6

+

2

，然后根据AB²=AE•AC可计算出AE，再计算AC：AE的值．

解答：（1）证明：∵∠BAC=

1

2

∠BOC，∠BAC=∠BCD，
∴∠BCD=

1

2

∠BOC，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=

1

2

（180°-∠BOC）=90°-

1

2

∠BOC，
∴∠OCB+∠BCD=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：∵AO⊥BO，
∴∠AOB=90°，
∴∠ACB=

1

2

∠AOB=45°，
∵OA=OB，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，
∴∠ABO=∠ACB，
而∠BAE=∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴AB：AC=AE：AB，
∴AB²=AE•AC；
（3）解：作BH⊥AC于H，如图，
∵∠BDC=30°，∠OCD=90°，
∴∠COD=60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴BC=OC=2，
∵∠BCH=45°，
∴CH=BH=

2

2

BC=

2

，
∵∠BAC=

1

2

∠BOC=30°，
∴AB=2BH=2

2

，AH=

3

BH=

6

，
∴AC=AH+CH=

6

+

2

，
∵AB²=AE•AC，
∴（2

2

）²=AE•（

6

+

2

），解得AE=2

6

-2

2

，
∴AC：AE=（

6

+

2

）：（2

6

-2

2

）=（2+

3

）：2．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．