Question

4．已知直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数交于一象限内的P（$\frac{1}{2}$，n），Q（4，m）两点，且tan∠BOP=$\frac{1}{16}$：
（1）求反比例函数和直线的函数表达式；
（2）求△OPQ的面积．

Answer 1

分析 （1）过P作PC⊥y轴于C，由P（$\frac{1}{2}$，n），得到OC=n，PC=$\frac{1}{2}$，根据三角函数的定义得到P（$\frac{1}{2}$，8），于是得到反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$，Q（4，1），解方程组即可得到直线的函数表达式为y=-2x+9；
（2）过Q作OD⊥y轴于D，于是得到S_△POQ=S_{四边形PCDQ}=$\frac{63}{4}$．

解答 解：（1）过P作PC⊥y轴于C，
∵P（$\frac{1}{2}$，n），
∴OC=n，PC=$\frac{1}{2}$，
∵tan∠BOP=$\frac{1}{16}$，
∴n=8，
∴P（$\frac{1}{2}$，8），
设反比例函数的解析式为y=$\frac{a}{x}$，
∴a=4，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$，
∴Q（4，1），
把P（$\frac{1}{2}$，8），Q（4，1）代入y=kx+b中得$\left\{\begin{array}{l}{8=\frac{1}{2}k+b}\\{1=4k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=9}\end{array}\right.$，
∴直线的函数表达式为y=-2x+9；

（2）过Q作OD⊥y轴于D，
则S_△POQ=S_{四边形PCDQ}=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$+4）×（8-1）=$\frac{63}{4}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，正切函数的定义，难度适中，利用数形结合是解题的关键．