Question

13．老师在黑饭上写了一个二次函数y=2mx²+（1-m）x-1-m（m是非零实数），该函数的图象与y轴交于点C，下列是鹏鹏和王磊所写的两条结论，请你判断这两条结论是真命题还是假命题，并说明理由．
鹏鹏：当m＞0时，OC的长度小于1．
王磊：当m＜0时，该函数的图象的对称轴经过x轴的正半轴．

Answer 1

分析 鹏鹏：在解析式中令x=0可求得C点坐标，可求得OC的长度，则可判断鹏鹏的说法；
王磊：由对称轴公式可用m表示出对称轴，结合m的取值范围可判断其正负，可判断王磊的说法．

解答 解：
鹏鹏：当m＞0时，OC的长度小于1，是假命题，
理由如下：
在y=2mx²+（1-m）x-1-m中，令x=0可得y=1-m，
∴C（0，1-m），
当m＞0时，不妨取m=3，则|1-m|=2＞0，
故当m＞0时，OC的长度小于1，不正确；
王磊：当m＜0时，该函数的图象的对称轴经过x轴的正半轴，是真命题，
理由如下：
∵y=2mx²+（1-m）x-1-m，
∴对称轴为x=-$\frac{1-m}{2×2m}$=$\frac{m-1}{4m}$，
当m＜0时，则m-1＜0，4m＜0，
∴$\frac{m-1}{4m}$＞0，
∴函数图象的对称轴经过x轴的正半轴．

点评 本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式及与y轴的交点坐标是解题的关键．