Question

如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．

（1）求证：AB=AC；

（2）若PC=2，求⊙O的半径．

Answer 1

    证明：（1）如图1，连接OB．

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，

∴∠OBA=∠OAC=90°，

∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，

∵OP=OB，

∴∠OBP=∠OPB，

∵∠OPB=∠APC，

∴∠ACP=∠ABC，

∴AB=AC；

（2）如图2，延长AP交⊙O于D，连接BD，

设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，

则AB²=OA²﹣OB²=5²﹣r²，

AC²=PC²﹣PA²=（2）²﹣（5﹣r）²，

∴5²﹣r²=（2）²﹣（5﹣r）²，

解得：r=3，

∴AB=AC=4，

∵PD是直径，

∴∠PBD=90°=∠PAC，

又∵∠DPB=∠CPA，

∴△DPB∽△CPA，

∴=，

∴=，

解得：PB=．

∴⊙O的半径为3，线段PB的长为．

点评：  本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力．本题综合性比较强，有一定的难度．