Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上一动点，BD=nCD，CE⊥AD于F，交AB于E．
（1）若n=1，则=______．=______

Answer 1

【答案】分析：（1）由条件可判定△DFC∽△DCA，得=，又知AC=BC，所以=，从而可得=；
（2）通过解直角三角形可知BE：AE=1：3；
（3）同理反过来可解得n=．
解答：解：（1）∵∠CDF=∠CDA，∠CFD=∠ACB=90°，
∴△DFC∽△DCA，
∴=，
又∵AC=BC，BD=CD=，
∴=，
设DF=x，则CF=2x，CD=，AC=，由勾股定理得，AF==4x，
∴=；

（2）过点A作BC的平行线，与CE的延长线交于点G，则△CAG∽△DCA，△AEG∽△BEC，
设CD=x，则BD=nx，AC=BC=x+nx，
∵，
∴AG=（n+1）²x，又，
∴当n=2时，=．

（3）由（2）知，，令，解得n=．
点评：本题主要考查相似三角形的判定及性质，涉及到直角三角形的性质知识点．