题目内容
（2013•莆田质检）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E是AB上一点，以AE为直径的⊙O过点D，且交AC于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CD=6，AC=8，求AE．
分析：（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；
（2）求出AD，连接DE，证△DCA∽△EDA，得出比例式，代入求出即可．
（2）求出AD，连接DE，证△DCA∽△EDA，得出比例式，代入求出即可．
解答：（1）证明：
连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴BC是⊙O切线；
（2）解：
在Rt△ADC中，AC=8，CD=6，
由勾股定理得：AD=10．
连接DE，
∵AE为直径，
∴∠EDA=∠C=90°，
∵∠CAD=∠EAD，
∴△DCA∽△EDA，
∴
=
，
∴
=
，
AE=12.5．
连接OD，∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴BC是⊙O切线；
（2）解：
在Rt△ADC中，AC=8，CD=6，由勾股定理得：AD=10．
连接DE，
∵AE为直径，
∴∠EDA=∠C=90°，
∵∠CAD=∠EAD，
∴△DCA∽△EDA，
∴
| AE |
| AD |
| AD |
| AC |
∴
| AE |
| 10 |
| 10 |
| 8 |
AE=12.5．
点评：本题考查了旗下的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生的推理能力．
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