Question

19．如图，在△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=$\sqrt{2}$AE²；④S_△ABC=4S_△ADF．其中正确结论的序号是①②③④．（把你认为正确结论的序号都填上）．

Answer 1

分析 由直角三角形斜边上的中线性质得出FD=$\frac{1}{2}$AB，证明△ABE是等腰直角三角形，得出AE=BE，证出FE=$\frac{1}{2}$AB，延长FD=FE，①正确；
证出∠ABC=∠C，得出AB=AC，由等腰三角形的性质得出BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，由ASA证明△AEH≌△BEC，得出AH=BC=2CD，②正确；
证明△ABD～△BCE，得出$\frac{BE}{AD}$=$\frac{CB}{AB}$，即BC•AD=AB•BE，再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出BC•AD=$\sqrt{2}$AE²；③正确；
由F是AB的中点，BD=CD，得出S_△ABC=2S_△ABD=4S_△ADF．④正确；即可得出结论．

解答 解：∵在△ABC中，AD和BE是高，
∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，
∵点F是AB的中点，
∴FD=$\frac{1}{2}$AB，
∵∠ABE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE，
∵点F是AB的中点，
∴FE=$\frac{1}{2}$AB，
∴FD=FE，①正确；
∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，
在△AEH和△BEC中$\left\{\begin{array}{l}{∠AEH=∠CEB}\\{AE=BE}\\{∠EAH=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△BEC（ASA），
∴AH=BC=2CD，②正确；
∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，
∴△ABD～△BCE，
∴$\frac{BE}{AD}$=$\frac{CB}{AB}$，即BC•AD=AB•BE，
∵$\sqrt{2}$AE²=AB•AE=AB•BE，BC•AD=AC•BE=AB•BE，
∴BC•AD=$\sqrt{2}$AE²；③正确；
∵F是AB的中点，BD=CD，∴
S_△ABC=2S_△ABD=4S_△ADF．④正确；
故答案为：①②③④．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．