Question

17．在?ABCD中，对角线AC、BD交于点E，AC⊥BC，AB=8，∠ABC=30°，
（1）求BD的长．
（2）若点P从点B出发沿B-A-D的路线以2cm/s的速度向点D移动，同时点Q从点C出发沿C-D的路线以1cm/s的速度向点D移动，当一点到达C时，另一点也停止移动，当t取何值时，线段PQ将平行四边形ABCD的面积分为相等的两部分？

Answer 1

分析 （1）首先在Rt△ABC中，求出AC、BC，再在Rt△BOC中求出BO即可解决问题；
（2）易知当P在AB上，PA=CQ时，直线PQ将平行四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分，由此列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图设A 与BD交于点O．
∵AC⊥BC，
∴∠ABC=30°，
∵AB=8，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=4．BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=2，OB=OD，
在Rt△BOC中，OB=$\sqrt{B{C}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴BD=4$\sqrt{13}$．

（2）易知当P在AB上，PA=CQ时，直线PQ将平行四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分，
∴8-2t=t，
∴t=$\frac{8}{3}$，
∴t=$\frac{8}{3}$s时，直线PQ将平行四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分．

点评 本题考查平行四边形的性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程，属于中考常考题型．