Question

16．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，BC=6$\sqrt{3}$，点E在AB上，CE=2$\sqrt{7}$，将CE绕点C旋转60°得到的线段与BD相交于点F，请你画出图形，直接写出DF的长，并画出体现解法的辅助线．

Answer 1

分析 如图，作CH⊥AB于H，E′Q⊥BD于Q，根据菱形的性质得BA=BC，AC⊥BD，BO=$\frac{1}{2}$BD=3$\sqrt{3}$，OA=OC，则可判断△ABC为等边三角形，得到OC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OB=3，CH=OB=3$\sqrt{3}$，接着利用勾股定理计算出EH=1，则AE=2，然后根据旋转的性质得DE′=AE=2，在Rt△DE′Q中利用含30度的直角三角形三边的关系得∠E′Q=$\frac{1}{2}$DE′=1，DQ=$\sqrt{3}$E′Q=$\sqrt{3}$，再根据平行线分线段成比例定理可计算出QF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，于是得到DF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

解答 解：如图，
作CH⊥AB于H，E′Q⊥BD于Q，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BA=BC，AC⊥BD，BO=$\frac{1}{2}$BD=3$\sqrt{3}$，OA=OC，
而∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴OC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OB=3，CH=OB=3$\sqrt{3}$，
∴AH=BH=3，
在Rt△CHE中，EH=$\sqrt{C{E}^{2}-C{H}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{7}）^{2}-（3\sqrt{3}）^{2}}$=1，
∴AE=2，
∵CE绕点C旋转60°得到的线段与BD相交于点F，
而∠ACD=60°，CA=CD，
∴△CAE旋转60°得到△CDE′，
∴DE′=AE=2，
在Rt△DE′Q中，∵∠E′DQ=30°，
∴∠E′Q=$\frac{1}{2}$DE′=1，DQ=$\sqrt{3}$E′Q=$\sqrt{3}$，
∴OQ=OD-DQ=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∵E′Q∥OC，
∴$\frac{QF}{OF}$=$\frac{E′Q}{OC}$=$\frac{1}{3}$，
∴QF=$\frac{1}{4}$OQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DF=DQ+QF=$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了旋转的性质、等边三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系．