Question

如图，AB、AC是⊙O的弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D且∠DCA=∠CBA，⊙O的半径为2
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：AC²=4AD．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）作直径CH，连接AH，根据圆周角定理得∠CAH=90°，则∠H+∠ACH=90°，由于∠B=∠H，∠DCA=∠B，则∠H=∠DCA，所以∠DCA+∠ACH=90°，即∠HCD=90°，于是可根据切线的判定定理得到EF是⊙O的切线；
（2）证明Rt△ACH∽Rt△DAC，利用相似比得到AC²=CH•AD，由于CH=4，则有AC²=4AD．

解答：证明：（1）作直径CH，连接AH，如图，
∵CH为直径，
∴∠CAH=90°，
∴∠H+∠ACH=90°，
∵∠B=∠H，∠DCA=∠B，
∴∠H=∠DCA，
∴∠DCA+∠ACH=90°，即∠HCD=90°，
∴OC⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）∵AD⊥EF，
∴∠ADC=90°．
又∵∠DCA=∠H，
∴Rt△ACH∽Rt△DAC，
∴

AC

AD

=

CH

AC

，
∴AC²=CH•AD，
而CH=4，
∴AC²=4AD．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．