Question

已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，P点从C出发，在CB边上以每秒一个单位的速度向B运动，运动时间为t秒（0≤t≤4）．BD⊥AP于点D，AC=BC=4，AP：BD=n．
（1）如图，当t=2时，求n的值；
（2）若n=2时，求t的值；
（3）当n的值为

4

3

时，直接写出满足条件的t的值

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据相似三角形的判定与性质，可得

CP

AC

=

PD

DB

，根据勾股定理，可得AP、BD的长，根据比，可得答案；
（2）根据三角形全等的判定与性质，可得AP与BG，CP与CG的关系，根据勾股定理，可得AB的长，根据等腰三角形的判定，可得AG与AB的关系，根据线段的和差，可得答案；
（3）根据勾股定理，可得AP的长，根据两角相等得三角形相似，可得△ACP∽△BDP，根据相似三角形的性质，可得答案．

解答：解：（1）∵∠C=∠D=90°，∠CPA=∠DPB
∴△APC∽△BPD，
∴

CP

AC

=

PD

DB

当t=2时，AC=2PC=4，PB=2，BD=2PD
∴AP=2

5

，BD=

4 5

5

∴n=

AP

BD

=

2 5

4 5 5

=

5

2

；
（2）延长BD，AC交于点G，
∵∠CAP+∠CPA=∠CBG+∠BPD，∠APC=∠BPD
∴∠CAP=∠CBG
在△ACP和△BCP中，

AC=BC ∠ACP=∠BCG ∠CAP=∠CBG

∴△ACP≌△BCG（ASA）
∴AP=BG，CP=CG，
由勾股定理得
AB=

AC2+BC2

=4

2

当n=2时AP=2BD=BG
∴D是BG中点
∴AG=AB=4

2

，
∴t=CP=CG=4

2

-4；     
（3）t=

4 7 -8

3

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质．