Question

9．已知：关于x的一元二次方程tx²-（3t+2）x+2t+2=0（t＞0）
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂），若y是关于t的函数，且y=x₂-2x₁，求这个函数的解析式，并画出函数图象；
（3）观察（2）中的函数图象，当y≥2t时，写出自变量t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）计算判别式的值得到△=（t+2）²，从而得到△＞0，所以方程有两个不相等的实数根；
（2）利用公式法解方程得到x₁=1，x₂=2+$\frac{2}{t}$，y=x₂-2x₁=$\frac{2}{t}$，然后利用描点法画函数图象；
（3）计算y=$\frac{2}{t}$与y=2t的交点，然后利用图象法写出满足y≥2t所对应的自变量的范围．

解答 （1）证明：△=9（3t+2）²-4t（2t+2）=（t+2）²，
∵t＞0，
∴（t+2）²＞0，即△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；

（2）解：x=$\frac{3t+2±（t+2）}{2t}$，
∵t＞0，
∴x₁=1，x₂=2+$\frac{2}{t}$，
∴y=x₂-2x₁=2+$\frac{2}{t}$-2×1=$\frac{2}{t}$，
即y=$\frac{2}{t}$（t＞0）；
如图，

（4）当y≥2t时，0＜t≤1．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了反比例函数图象．