Question

3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，CF⊥AF，且CF=CE
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若sin∠BAC=$\frac{5}{13}$，CD=10，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）首先连接OC，由CD⊥AB，CF⊥AF，CF=CE，即可判定AC平分∠BAF，由圆周角定理即可得∠BOC=2∠BAC，则可证得∠BOC=∠BAF，即可判定OC∥AF，即可证得CF是⊙O的切线；
（2）由垂径定理得出CE=ED=$\frac{1}{2}$CD=5，由三角函数求出AC=13，由勾股定理求出AE，在Rt△OCE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）证明：连接OC，如图所示：
∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF，
∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC，∠F=90°，
∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOC=∠BAF，
∴OC∥AF，
∴∠OCF+∠F=180°，
∴∠OCF=90°，
∴CF⊥OC，
∴CF是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为r，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=ED=$\frac{1}{2}$CD=5，sin∠BAC=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{5}{AC}$=$\frac{5}{13}$
∴AC=13，∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
在Rt△OCE中，OC²=OE²+CE²，
∴r²=（12-r）²+5²，
解得：r=$\frac{169}{24}$，
即⊙O的半径是$\frac{169}{24}$．

点评 此题考查了切线的判定、平行线的判定与性质、垂径定理、勾股定理、圆周角定理、三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．