Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，平面上的动点P满足PC⊥AB，记∠APB＝α．

（1）如图1，当点P在直线BC上方时，直接写出∠PAC的大小（用含α的代数式表示）；

（2）过点B作BC的垂线BD，同时作∠PAD＝60°，射线AD与直线BD交于点D．

①如图2，判断△ADP的形状，并给出证明；

②连结CD，若在点P的运动过程中，CD＝AB．直接写出此时α的值．

Answer 1

【答案】（1）150°﹣；（2）①△ADP是等边三角形，证明见解析；②α＝150°或α＝30°.

【解析】

（1）由等边三角形的性质可得∠CAB＝∠CBA＝60°，AC＝CB＝AB，可证PA＝PB，由等腰三角形的性质可得∠PAB＝∠PBA＝90°，即可求解；

（2）①由“SAS”可证△DAB≌△PAC，可得AD＝AP，由等边三角形的判定△ADP是等边三角形；

②分点P在直线AB上方和直线AB下方两种情况讨论，由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可求解．

解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠CAB＝∠CBA＝60°，AC＝CB＝AB，且PC⊥AB，

∴PC垂直平分AB，

∴PA＝PB，且∠APB＝α，PC⊥AB，

∴∠APC＝∠BPC＝α，

∴∠PAB＝∠PBA＝90°﹣，

∴∠PAC＝∠PAB+∠BAC＝150°﹣；

（2）①△ADP是等边三角形，

理由如下：∵∠PAD＝60°＝∠CAB，

∴∠DAB＝∠PAC，

∵△ABC是等边三角形，CP⊥AB，

∴∠ACP＝∠BCP＝30°，

∵DB⊥BC，∠ABC＝60°

∴∠DBA＝30°＝∠ACP，且AC＝AB，∠DAB＝∠PAC，

∴△DAB≌△PAC（ASA）

∴AD＝AP，且∠DAP＝60°，

∴△ADP是等边三角形；

②如图3，点P在AB上方时，

∵CD＝AB．

∴CD＝BC，

∵∠DBC＝90°，

∴CD2＝DB2+BC2，

∴BC＝DB，

∴AB＝DB，且∠DBA＝30°，

∴∠ADB＝75°，

∵△DAB≌△PAC，

∴∠APC＝∠ADB＝75°，

∴α＝150°；

如图4，点P在AB下方时，

∵DB⊥BC，∠ABC＝60°

∴∠ABD＝150°

∵CD＝AB．

∴CD＝BC，

∵∠DBC＝90°，

∴CD2＝DB2+BC2，

∴BC＝DB，

∴AB＝DB，且∠ABD＝150°，

∴∠ADB＝15°，

∵∠PAD＝60°＝∠CAB，

∴∠DAB＝∠PAC，

∵△ABC是等边三角形，CP⊥AB，

∴∠ACP＝∠BCP＝180°﹣30°＝150°，

∴∠DBA＝150°＝∠ACP，且AC＝AB，∠DAB＝∠PAC，

∴△DAB≌△PAC（SAS）

∴∠APC＝∠ADB＝15°，

∴α＝30°，