Question

15．如图，?ABCD中，E是BC边上一点，AD=DE，F在AE上，连CF、DF，且∠BAE=∠EDF，求证：CF=DF．

Answer 1

分析 由AD=DE，∠BAE=∠EDF，可证得∠DAB=∠3+∠1=∠2+∠4=∠DFA，继而证得D，C，E，F四点共圆，然后由圆周角定理，证得∠2=∠5=∠1，得到∠3=∠6，又由圆的内接四边形的性质，证得∠3=∠CDF，继而证得结论．

解答 解：∵AD=DE，
∴∠3=∠4，
∵∠BAE=∠EDF，
即∠1=∠2，
∴∠DAB=∠3+∠1=∠2+∠4=∠DFA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠DCB，
∴∠DFA=∠DCB，
∴D，C，E，F四点共圆，
∴∠2=∠5=∠1，
∴∠3=∠6，
∵∠CDF+∠CEF=180°，∠3+∠CEF=180°，
∴∠3=∠CDF，
∴∠6=∠CDF，
∴DF=CF．

点评 此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质与判定以及圆周角定理．证得D，C，E，F四点共圆是解此题的关键．