题目内容

4．如图（1），AB∥CD，点M，N分别为AB，CD上的点
（1）若点P1在两平行线内部，∠BMP1=45°，∠DNP1=30°，则∠MP1N=75°；
（2）如图（2），若P1，P2在两平行线内部，且P1P2不与AB平行，如图，请你猜想∠AMP1+∠P1P2N与∠MP1P2+∠P2ND的关系，并证明你的结论；
（3）如图（3），若P1，P2，P3在两平行线内部，顺次连接M，P1，P2，P3，N，且P1，P2，P3不与AB平行，直接写出你得到的结论．

分析 （1）过P1作P1E∥AB，进而利用∠1=∠BMBMP1=45°，∠2=∠DNP1=30°，求出即可；
（2）分别过点P1、P2作P1E∥AB，P2F∥CD，由平行线的性质可知，∠1=∠AMP1，∠FP2P1=∠P2P1E，∠FP2N=∠4，所以∠AMP1+∠3+∠4=∠1+∠2+∠P2ND，故∠AMP1+∠P1P2N=∠MP1P2+∠P2ND；
（3）分别过点P1、P2，P3作P1E∥AB，P2F∥CD，P3H∥CD，根据平行线的性质可得∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，从而可得∠8+∠4+∠5+∠1=∠6+∠7+∠2+∠3，进而得到∠AMP1+∠CNP3+∠P1P2P3=∠MP1P2+∠P2P3N．

解答 解：（1）过P1作P1E∥AB，
∵AB∥CD，
∴P1E∥AB∥CD，
∴∠1=∠BMBMP1=45°，∠2=∠DNP1=30°，
∴∠MP1N=45°+30°=75°．
故答案为：75°．

（2）∠AMP1+∠P1P2N=∠MP1P2+∠P2ND，
分别过点P1、P2作P1E∥AB，P2F∥CD，
∵AB∥CD，
∴P1E∥AB∥P2F∥CD，
∴∠1=∠AMP1，∠2=∠3，∠FP2N=∠4，
∴∠AMP1+∠3+∠4=∠1+∠2+∠P2ND，
∴∠AMP1+∠P1P2N=∠MP1P2+∠P2ND；

（3）分别过点P1、P2，P3作P1E∥AB，P2F∥CD，P3H∥CD，
∵AB∥CD，
∴P1E∥AB∥P2F∥CD∥P3H，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，
∴∠8+∠4+∠5+∠1=∠6+∠7+∠2+∠3，
∴∠AMP1+∠CNP3+∠P1P2P3=∠MP1P2+∠P2P3N．

点评 本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行?同位角相等，②两直线平行?内错角相等，③两直线平行?同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．

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