题目内容
5．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx的图象经过点A（-1，4），交x轴于点B（a，0）．（1）求a与b的值；
（2）如图1，点M为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABM面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，点C为AB的中点，点P是线段AM上的动点，如图2所示，问AP为何值时，将△BPC沿边PC翻折后得到△EPC，使△EPC与△APC重叠部分的面积是△ABP的面积的$\frac{1}{4}$．
分析 （1）把A（-1，4）代入y=x2+bx求出b，再把B（a，0）代入抛物线的解析式即可解决问题．
（2）如图1中，作MG∥y轴交AB于G．设M（x，x2-3x），则G（m，-m+3），根据S△ABM=S△AMG+S△BMG构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
（3）分三种情形①如图2中，连接AE．只要证明四边形APCE是平行四边形，即可解决问题．②如图3中，当PB=BC时，③如图4中，当P与M重合时，易证四边形AEPC是平行四边形，△EPC与△APC重叠部分的面积是△ABP的面积的$\frac{1}{4}$，③如图4中，当P与M重合时，易证四边形AEPC是平行四边形，△EPC与△APC重叠部分的面积是△ABP的面积的$\frac{1}{4}$，分别求解即可．
解答 解：（1）把A（-1，4）代入y=x2+bx得到4=1-b，
∴b=-3，
∴y=x2-3x，
∵B（a，0）在函数图象上，
∴a2-3a=0，
∴a=3或0（舍弃），
∴a=3．
（2）如图1中，作MG∥y轴交AB于G．
设直线AB解析式为y=kx+b，把（-1，4），（3，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=4}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴y=-x+3，设M（x，x2-3x），则G（m，-m+3），
∴S△ABM=S△AMG+S△BMG=$\frac{1}{2}$×4×[（-x+3）-（x2-3x）=-2x2+4x+6=-2（x-1）2+8，
∵-2＜0，
∴当x=1时，△ABM的面积最大，最大值为8，
此时M（1，-2）．
（3）①如图2中，连接AE．
∵C为AB中点，△EPC与△APC重叠部分的面积是△ABP的面积的$\frac{1}{4}$，
∴F为AC与EP的中点，连接AE，
∴四边形APCE是平行四边形，
∴AP=EC=BC=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$．
②如图3中，当PB=BC时，
∵PB=BC=EC=PE，
∴四边形BCEP是菱形，
∴PE∥BC，∵PE=AC，
∴四边形AEPC是平行四边形，此时△EPC与△APC重叠部分的面积是△ABP的面积的$\frac{1}{4}$，
作BK⊥PM于K，
∵AB=4$\sqrt{2}$，BM=2$\sqrt{2}$，AM=2$\sqrt{10}$，
∴AM2=AB2+BM2，
∴∠ABM=90°，
∴$\frac{1}{2}$•BM•AB=$\frac{1}{2}$•AM•BK，
∴BK=$\frac{BM•AB}{AM}$=$\frac{2\sqrt{2}•4\sqrt{2}}{2\sqrt{10}}$=$\frac{4}{5}$$\sqrt{10}$，
∵PB=BM=2$\sqrt{2}$，
∴PK=KM=$\sqrt{B{M}^{2}-B{K}^{2}}$=$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$，
∴AK=$\sqrt{A{B}^{2}-B{K}^{2}}$=$\frac{8}{5}$$\sqrt{10}$，
∴AP=AK=PK=$\frac{8}{5}$$\sqrt{10}$-$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$=$\frac{6}{5}$$\sqrt{10}$．
③如图4中，当P与M重合时，易证四边形AEPC是平行四边形，△EPC与△APC重叠部分的面积是△ABP的面积的$\frac{1}{4}$，此时AP=AM=2$\sqrt{10}$．
综上所述，当AP=2$\sqrt{2}$或$\frac{6}{5}$$\sqrt{10}$或2$\sqrt{10}$时，△EPC与△APC重叠部分的面积是△ABP的面积的$\frac{1}{4}$．
点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，注意不能漏解，属于中考压轴题．
| A． | $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-5}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=-5}\end{array}\right.$ | B． | $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=5}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=5}\end{array}\right.$ | ||
| C． | $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=5}\\{{y}_{1}=-2}\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=5}\end{array}\right.$ | D． | $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-5}\\{{y}_{1}=-2}\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=-5}\end{array}\right.$ |
| A． | $\sqrt{3}+1$ | B． | $\sqrt{2}+1$ | C． | $\sqrt{2}$ | D． | $\sqrt{2}-1$ |
如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．
已知有理数a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简：|a-b|-2|a+1|-|b+1|．