Question

2．如图1，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，△ABC内一点P将三个内角分成6个角（即∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6）
（1）若∠1=∠3=∠5，求S_△APC：S_△ABC的值；
（2）如图2，已知：AP=AC
①若PB=PC，求证：∠1=2∠4；
②若∠1=30°，求证：PB=PC．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠ABC=45°．设AC=a，PC=x，证明△APB∽△BPC，根据相似三角形的性质、三角形的面积公式计算即可；
（2）①根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算；
②过P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，根据线段垂直平分线的判定定理和性质定理证明．

解答 解：（1）∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠ABC=45°．
∵∠1=∠3=∠5，
∴∠2=∠4，
∴∠APB=180°-（∠2+∠3）=180°-45°=135°，
同理，∠BPC=135°．
∴∠APC=90°，
设AC=a，PC=x，则AB=$\sqrt{2}$a，
∵∠APB=∠BPC，∠2=∠4，
∴△APB∽△BPC，
∴$\frac{PC}{PB}$=$\frac{PB}{PA}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴PB=$\sqrt{2}$x，PA=2x，
在Rt△PAC中，x²+（2x）²=a²，
∴x²=$\frac{1}{5}$a²，
∵S_△APC=$\frac{1}{2}$×x×2x=x²=$\frac{1}{5}$a²，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×a×a=$\frac{1}{2}$a²，
∴S_△APC：S_△ABC=2：5；
（2）①∵PB=PC，则∠4=∠5，
设∠4=∠5=α，
∵AP=AC，则∠6=∠APC=90°-α，即∠1=180°-2（90°-α）=2α，
即∠1=2∠4，
②如图2所示，过P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，
则四边形PDCE为矩形，
在直角△APD中，∠1=30°，
∴PD=$\frac{1}{2}$PA，
又AP=AC=BC，
∴PD=CE=$\frac{1}{2}$BC，即PE垂直平分BC，
∴PB=PC．

点评 本题考查的是等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定、线段垂直平分线的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．