Question

2．已知等边△ABD中，点E为△ABD内部一点，连接AE、BE，使得∠AEB=90°，过B作BC⊥BE，连接CD，使∠DCB=60°，延长AE交CD于点F，若AE：DC=5：7，且DE•EF=8，则四边形AFCB的面积．

Answer 1

分析 作BG⊥CD，EH⊥CD垂足分别为G、H，连接EG、ED，先证明△ABE≌△DBG得AE=DG，BE=BG，△BEG是等边三角形，设AE=5a用字母a表示出DE、EF，根据DE•EF=8求出a，再代入梯形面积公式即可．

解答 解：如图作BG⊥CD，EH⊥CD垂足分别为G、H，连接EG、ED．
∵EB⊥BC，
∴∠EBC=∠EB=90°，
∴AF∥BC，
∴∠OFD=∠C=60°，
∵∠AOB=∠DOF，∠ABO=∠OFD=60°，
∴∠OAB=∠ODF，
在△ABE和△DBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAB=∠BDG}\\{∠AEB=∠BGD}\\{AB=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBG，
∴AE=DG，设AE=5a，则DC=7a，DG=AE=5a，GC=2a，BE=GB=2$\sqrt{3}$a，BC=4a，
∵∠ABE=∠DBG，
∴∠ABD=∠EBG=60°，
∴△EBG是等边三角形，
∴EG=BG=EB=2$\sqrt{3}$a，∠EGB=60°，
在RT△EHG中，∵∠EGH=180°-∠EGB-∠BGC=30°，EG=2$\sqrt{3}$a，
∴EH=$\sqrt{3}a$，GH=3a，DH=2a，HF=a，EF=2a，
DE=$\sqrt{D{H}^{2}+E{H}^{2}}$=$\sqrt{7}$a，
∵DE•EF=8，
∴2a$•\sqrt{7}$a=8，
∴a²=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$，
∴S_{四边形AFCB}=$\frac{BC+AF}{2}•BE$=$\frac{7a+4a}{2}•2\sqrt{3}a$=$\frac{44\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是通过未知数a，想办法表示出相关线段，列出方程解决，本题有点难度．