Question

7．阅读下列因式分解的过程，再回答问题：
1+a+a（1+a）+a（1+a）²=（1+a）[1+a+a（1+a）]=（1+a）²（1+a）=（1+a）³．
（1）上述因式分解的方法是提取公因式．共应用了2次．
（2）若将多项式1+a+a（1+a）+a（1+a）²+…+a（1+a）¹⁰分解因式，则可应用上述方法10次，结果是（1+a）¹¹．
（3）分解因式：1+a+a（1+a）+a（1+a）²+…+a（1+a）ⁿ（n为正整数）．
（4）利用第（3）题的结果计算：1+3+3×4+3×4²+…+3×4⁹⁹．

Answer 1

分析 （1）利用观察法可知，用提公因式法提了两次．
（2）因为最后一个式子是（1+a）¹⁰，所以需要提10次公因式，结果为（1+a）¹¹．
（3）因为最后一个式子是（1+a）ⁿ，所以需要提10次公因式，结果为（1+a）ⁿ⁺¹．
（4）利用（3）的结论直接计算即可．

解答 解：（1）上述因式分解的方法是提公因式法．共应用了2次．
故答案分别为：提公因式法，2．
（2）若将多项式1+a+a（1+a）+a（1+a）²+…+a（1+a）¹⁰分解因式，则可应用上述方法10次，结果是（1+a）¹¹．
故答案分别为：10，（1+a）¹¹．
（3）原式=（1+a）[1+a+a（1+a）+a（1+a）²+…+a（1+a）^n-1]=（1+a）²[1+a+（1+a）+a（1+a）²+…a（1+a）^n-2]
=…
=（1+a）ⁿ（1+a）
=（1+a）ⁿ⁺¹．
（4）原式=（1+3）¹⁰⁰=4¹⁰⁰．

点评 本题考查提公因式法、解题的关键是找到提公因式的规律，学会用这个方法进行简便计算．