Question

6．如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠．D为BC边上一点，以CD为直径作圆O，与AB相切于点E．若CD=2，BD=1.2，求点A到⊙O的切线长．

Answer 1

分析 连接OE，在Rt△BOE中可求得BE，由条件可知AC是⊙O的切线，可知AE=AC，设AC=AE=x，在Rt△ABC中由勾股定理可列方程，可求得AC的长．

解答 解：
连接OE，
∵AB是⊙O的切线，
∴OE⊥AB，
∵CD=2，
∴OD=OE=1，
∴BO=BD+OD=1.2+1=2.2，
在Rt△BOE中，由勾股定理可得BE=$\sqrt{B{O}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{2．{2}^{2}-1}$=$\frac{4\sqrt{6}}{5}$，
∵∠C=90°，且CD为直径，
∴AC是⊙O的切线，
∴AE=AC，
设AE=AC=x，则AB=$\frac{4\sqrt{6}}{5}$+x，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB²=BC²+AC²，
∴（x+$\frac{4\sqrt{6}}{5}$）²=3.2²+x²，解得x=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
即点A到⊙O的切线长为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题主要考查切线的性质和判定，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键．