Question

11．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BD为⊙O的直径，∠ABC=∠D，AC=2$\sqrt{3}$，AD=6，延长DB到E，使BE=BO，连接EA，那么直线EA与⊙O相切吗？为什么？

Answer 1

分析 先在Rt△ABD中利用勾股定理计算出BD=4$\sqrt{3}$，则OB=OA=2$\sqrt{3}$，证出△OAB为等边三角形，得到∠ABD=∠BAO=60°，再计算出∠BAE=30°，由此得到∠OAE=∠BAO+∠BAE=90°，然后根据切线的判定定理得直线EA与⊙O相切．

解答 解：直线EA与⊙O相切．
理由如下：连接OA，如图所示：
∵∠ABC=∠D，∠D=∠C，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC=2$\sqrt{3}$，
Rt△ABD中，∵AB=2$\sqrt{3}$，AD=6，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴OB=OA=2$\sqrt{3}$，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠ABD=∠BAO=60°，
∵BO=BE，
∴BE=AB，
∴∠E=∠BAE，
∴∠BAE=30°，
∴∠OAE=∠BAO+∠BAE=60°+30°=90°，
∴OA⊥AE，
∴直线EA与⊙O相切．

点评 本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、切线的判定等知识；熟练掌握圆周角定理和勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键．