Question

去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图）．两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）．
（1）若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥多远的地方可使所用输水管道最短？
（2）若水泵达到张村，李村的距离相等，请你直接在图上画出水泵站的具体位置P（不写作法，保留作图痕迹）．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,坐标与图形性质

专题：

分析：（1）为了使所修水泵站的所用输水管道最短，利用轴对称的方法画图可求；
（2）所求点要满足两个条件，到张村和李村的距离相等，可以作连接两村线段的垂直平分线，与x轴的交点即为所求．

解答：解：（1）如图1，作点B关于x轴的对称点E，连接AE，则点E为（12，-7）
设直线AE的函数关系式为y=kx+b（k≠0），则

2k+b=3 12k+b=-7

，
解得

k=-1 b=5

，
当y=0时，x=5．
所以，水泵站建在距离大桥5千米的地方，可使所用输水管道最短．

（2）如图2所示，作线段AB的垂直平分线PQ，交x轴于点P，P即为所求；

点评：本题考查了待定系数法求一次函数解析式，线段的垂直平分线，轴对称的作图方法．关键是明确每条线上点的性质，合理地选择．