Question

4．在直角坐标系中，直线y=x+1与y轴交于点A，按如图方式作正方形A₁B₁C₁O、A₂B₂C₂C₁、A₃B₃C₃C₂…，A₁、A₂、A₃…在直线y=x+1上，点C₁、C₂、C₃…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S₁、S₂、S₃、…S_n，则S_n的值为2^2n-3（用含n的代数式表示，n为正整数）．

Answer 1

分析 根据直线解析式先求出OA₁=1，得出第一个正方形的边长为1，求得A₂B₁=A₁B₁=1，再求出第二个正方形的边长为2，求得A₃B₂=A₂B₂=2，第三个正方形的边长为2²，求得A₄B₃=A₃B₃=2²，得出规律，根据三角形的面积公式即可求出S_n的值．

解答 方法一：
解：∵直线y=x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=-1，
∴OA₁=1，OD=1，
∴∠ODA₁=45°，
∴∠A₂A₁B₁=45°，
∴A₂B₁=A₁B₁=1，
∴S₁=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，
∵A₂B₁=A₁B₁=1，
∴A₂C₁=2=2¹，
∴S₂=$\frac{1}{2}$×（2¹）²=2¹
同理得：A₃C₂=4=2²，…，
S₃=$\frac{1}{2}$×（2²）²=2³
∴S_n=$\frac{1}{2}$×（2^n-1）²=2^2n-3
故答案为：2^2n-3．

方法二：
∵y=x+1，正方形A₁B₁C₁O，
∴OA₁=OC₁=1，A₂C₁=2，B₁C₁=1，
∴A₂B₁=1，S₁=$\frac{1}{2}$，
∵OC₂=1+2=3，
∴A₃C₂=4，B₂C₂=2，
∴A₃B₂=2，
S₂=2，
∴q=$\frac{2}{\frac{1}{2}}$=4，
∴S_n=$\frac{1}{2}×{4}^{n-1}={2}^{2n-3}$．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键．