Question

如图，直线y=-x-1交两坐标轴于A、B两点，⊙M经过A、B两点，交x轴正半轴于点C，延长BM交⊙M于D，反比例函数y=

k

x

(x＞0）的图象经过点D，若C（2，0），则k=

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：探究型

分析：连AD、BC，过D点作DE⊥x轴于E，先确定A点坐标为（-1，0），B点坐标为（0，-1），根据等腰直角三角形的判定与性质得到△OAB为等腰直角三角形，则∠OAB=45°，AB=

2

OA=

2

，利用勾股定理可计算出BC=

5

，根据圆周角定理得到∠DAB=90°，∠ADB=∠OCB，易证得Rt△ADB∽Rt△OCB，则BD：BC=AB：OB，即BD：

5

=

2

：1，可得到BD=

10

，在Rt△ADB中，运用勾股定理计算AD=2

2

，由于∠OAB=45°，∠DAB=90°得到∠DAE=90°-45°=45°，于是得到△ADE为等腰直角三角形，AE=DE=

2

2

×2

2

=2，则OE=1，可确定D点坐标，然后利用待定系数法克确定k的值．

解答：解：连AD、BC，过D点作DE⊥x轴于E，如图，
对于y=-x-1，令x=0，则y=-1；令y=0，-x-1=0，解得x=-1，
∴A点坐标为（-1，0），B点坐标为（0，-1），
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，AB=

2

OA=

2

，
而C点坐标为（2，0），
∴BC=

OB2+OC2

=

5

，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠DAB=90°，
∴∠DAE=90°-45°=45°，
∴AE=DE=

2

2

AD，
又∵∠ADB=∠OCB，
∴Rt△ADB∽Rt△OCB，
∴BD：BC=AB：OB，即BD：

5

=

2

：1，
∴BD=

10

，
在Rt△ADB中，AD=

BD2-AB2

=

8

=2

2

，
∴AE=DE=

2

2

×2

2

=2，
∴OE=AE-OA=2-1=1，
∴点D的坐标为（1，2），
把D（1，2）代入y=

k

x

得k=1×2=2．
故答案为2．

点评：本题考查了反比例函数综合题：运用待定系数法确定反比例函数的解析式；会确定直线与坐标轴的交点坐标；学会运用圆周角定理进行几何证明；熟练运用等腰直角三角形的性质、勾股定理和相似比进行几何计算．