Question

若二次方程x²+2px+2q=0有实根，其中p、q为奇数，证明：此方程的根是无理数．

Answer 1

考点：一元二次方程的整数根与有理根

专题：

分析：分别假设方程的根为奇数、偶数、分数，然后将方程变形，得出矛盾，进而根据有理数的概念可判断出方程x²+2px+2q=0此方程的根是无理数．

解答：解：①首先，方程的根不可能是奇数；若x为奇数，则x²为奇数，而2px+2q 是偶数，因此x²+2px+2q取奇数值，不可能是0；
②其次，方程的根不可能是偶数；若x为偶数，则x²+2px能被4整除，而这时常数项2q被4除时余2，因此不能满足x²+2px+2q≠0；
③最后，方程的根不可能是分数；若x为分数，则x+p也是分数，而方程可以变为（x+p）²=p²-2q，等号右端的p²-2q是一个整数，左端是一个分数，这是一个矛盾！
综上可知，当p，q是两个奇数时，方程x²+2px+2q=0不可能有有理根，
即此方程的根是无理数．

点评：此题考查了一元二次方程的整数根与有理根的知识，注意运用假设法解题，得出矛盾，然后判断假设正确与否，有一定难度．