Question

3．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于点E，过点E作直线与AF垂直，交AF延长线于点D，交AB延长线于点C．
（1）判断CD是否是⊙O的切线，并说明理由．
（2）若∠C=30°，⊙O的半径为1，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）先证OE∥AD，得出∠ADC=∠OEC，再由AD⊥CD，证出OE⊥CD，即可得出结论；
（2）由∠C=30°，得出OC=2OE=2，AC=3，再根据含30°的直角三角形的性质求出AD，然后运用锐角三角函数即可得出DE．

解答 解：（1）CD是⊙O的切线；
理由如下：连结OE，如图所示：
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
又∵∠DAE=∠OAE，
∴∠OEA=∠DAE，
∴OE∥AD，
∴∠ADC=∠OEC，
∵AD⊥CD，∴∠ADC=90°，∴∠OEC=90°，
∴OE⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；

（2）∵∠OEC=90°，∠C=30°，
∴OC=2OE=2，
∴AC=3，
又∵∠ADC=90°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，∠DAC=60°，
∵∠DAE=$\frac{1}{2}$∠DAC=30°，
∴DE=AD•tan30°=$\frac{3}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定、平行线的判定、含30°的直角三角形的性质、三角函数的运用；熟练掌握切线的判定与性质是解决问题的关键．