Question

14．已知α为锐角，则sin⁴α+sinα•cosα+cos⁴α的最大值为$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 根据sin²α+cos²α=1，可得完全平方公式，根据正弦的二倍角公式，可得二次函数，根据二次函数的最值，可得答案．

解答 解：原式=（sin²α+cos²α）²-2sin²αcos²α+sinαcosα
=1-$\frac{1}{2}$sin²2α+$\frac{1}{2}$sin2α
=-$\frac{1}{2}$（sin²2α-sin2α+$\frac{1}{4}$）+1+$\frac{1}{8}$
=-$\frac{1}{2}$（sin2α-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{8}$，
当sin2α=$\frac{1}{2}$时，sin⁴α+sinα•cosα+cos⁴α的最大值为$\frac{9}{8}$，
故答案为：$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查了二次函数最值，利用据sin²α+cos²α=1得出完全平方公式是解题关键，又利用正弦的二倍角公式，二次函数的性质．