Question

17．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若BC=a，CA=b，AB=c，CD=h，设△ACD、△BCD与△ABC的内切圆半径分别为r₁，r₂，h，则下列结论：①$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{h}$；②$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$；③r₁²+r₂²=r²；④r₁+r₂+r=h中，正确的结论有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据三角形的面积公式得到h=$\frac{ab}{c}$，由$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{a+b}{ab}$，$\frac{1}{h}$=$\frac{c}{ab}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{ab}$，得到$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≠$\frac{1}{h}$，①错误；②由于ab=ch，根据勾股定理得到$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$，②正确；③根据已知条件得到r=$\frac{1}{2}$（a+b-c），r₁=$\frac{1}{2}$（$\frac{ab}{c}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$-b）=$\frac{b}{c}$r，r₂=$\frac{1}{2}$（$\frac{{a}^{2}}{c}$+$\frac{ab}{c}$-a）=$\frac{a}{c}$r，于是得到r₁²+r₂²=（$\frac{b}{c}$r）²+（$\frac{a}{c}$r）²=r²；③正确；④根据③中的条件即可得到r₁+r₂+r=$\frac{a+b+c}{c}$r=$\frac{a+b+c}{c}$•$\frac{a+b-c}{2}$=$\frac{ab}{c}$=h，④正确．

解答 证明：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴由三角形面积公式得：S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$ch，
∴ab=ch，
∴h=$\frac{ab}{c}$，
①∵$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{a+b}{ab}$，$\frac{1}{h}$=$\frac{c}{ab}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{ab}$，
∵a+b=$\sqrt{（a+b）^{2}}$，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≠$\frac{1}{h}$，①错误；
②∵ab=ch，
∴a²b²=c²h²，
∴$\frac{1}{{a}^{2}{b}^{2}}$=$\frac{1}{{c}^{2}{h}^{2}}$，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$
由勾股定理得：a²+b²=c²，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}+{a}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$，②正确；
③∵△ACD、△BCD与△ABC的内切圆半径分别为r₁，r₂，r，
∴r=$\frac{1}{2}$（a+b-c），r₁=$\frac{1}{2}$（$\frac{ab}{c}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$-b）=$\frac{b}{c}$r，r₂=$\frac{1}{2}$（$\frac{{a}^{2}}{c}$+$\frac{ab}{c}$-a）=$\frac{a}{c}$r，
∴r₁²+r₂²=（$\frac{b}{c}$r）²+（$\frac{a}{c}$r）²=r²；③正确；
④r₁+r₂+r=$\frac{a+b+c}{c}$r=$\frac{a+b+c}{c}$•$\frac{a+b-c}{2}$=$\frac{ab}{c}$=h，④正确．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的面积公式，勾股定理，熟练掌握三角形的内心的性质是解题的关键．