题目内容
11．
已知边长为1的正七边形ABCDEFG中，对角线AD，BG的长分别为a，b（a≠b），求证：（a+b）2（a-b）=ab2．
分析 连结BD、EG、BE、DG，则BD=EG=GB=b，DG=BE=DA=a，DE=AB=AG=1，在四边形ABDG中，利用托勒密协定理可得ab=a+b，同理在四边形BDEG中，可得b=a2-b2=（a+b）（a-b），可得结论．
解答 
证明：连结BD、EG、BE、DG，则BD=EG=GB=b，DG=BE=DA=a，DE=AB=AG=1，在四边形ABDG中，由托勒密协定理，得AD•BG=AB•DG+BD•AG，
即ab=a+b ①，
同理在四边形BDEG中，得BE•DG=DE•BG+BD•GE，
即a2=b+b2，
∴b=a2-b2=（a+b）（a-b） ②，
①×②，得ab2=（a+b）2（a-b）．
点评 本题主要考查了正多边形和圆，利用“在四边形中，两对角线的乘积是两组对边乘积的和”是解答此题的关键．
练习册系列答案
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